Importowanie bibliotek

Na potrzeby dzisiejszych zajęć będziemy potrzebowali wyznaczyć kwantyle różnych rozkładów:

• norm oznacza tutaj rozkład Gaussa
• chi2 oznacza tutaj rozkład $\chi^2$ (chi kwadrat)
• t oznacza tutaj rozkład t-studenta

Do wyznaczania kwantyli służy funkcja rozklad.ppf(q, df), gdzie

• q oznacza kwantyl rzędu $q$
• df oznacza degree of freedom, czyli liczbę stopni swobody

import numpy as np
from scipy.stats import norm, chi2, t

# ppf(q) == kwantyl rzedu q
print(norm.ppf(0.05))

# ppf(q, df) == kwantyl rzedu q, df==degree of freedom , liczba stopni swobody
print(chi2.ppf(0.05, 5))
print(t.ppf(0.05, 5))
# aby przeczytać dokumentację funkcji, wystarczy kliknąć shift + tab wewnątrz funkcji ;)

-1.6448536269514729
1.1454762260617692
-2.0150483726691575

Zadanie 1

Dział kontroli jakości w zakładach chemicznych chce oszacować średnią wagę proszku do prania o nominalnej wadze 3kg. W tym celu pobrał próbkę siedmiu losowych pudełek , które zważył i otrzymał: 2.93, 2.97, 3.05, 2.91, 3.02, 2.87, 2.92 . Wiadomo że rozkład wagi pudełka jest normalny.

• Sprawdź czy na poziomie istotności $\alpha = 0.05$, można stwierdzić że waga pudełek jest równa 2.9kg?
• Sprawdź czy na poziomie istotności $\alpha = 0.05$, można stwierdzić że waga pudełek jest mniejsza niż 3kg?

# pierwszy podpunkt
# znajduję, że jest to model 1.2
x = np.array([2.93, 2.97, 3.05, 2.91, 3.02, 2.87, 2.92])
mu_0 = 2.9
alpha = 0.05

# liczę statystykę testową
s = np.sqrt(np.var(x))
n = len(x)
T = (np.mean(x) - mu_0)/s*np.sqrt(n)
print(f'Statystyka testowa T = {T:.3f}')

# wyznaczam zbiór krytyczny W
t1 = -t.ppf(1-alpha/2, n-1)
t2 = t.ppf(1-alpha/2, n-1)
print(f'Zbiór krytyczny W = (-oo,{t1:.3f}] u [{t2:.3f},oo)')

Statystyka testowa T = 2.362
Zbiór krytyczny W = (-oo,-2.447] u [2.447,oo)

# drugi podpunkt
# znajduję, że jest to model 1.2
x = np.array([2.93, 2.97, 3.05, 2.91, 3.02, 2.87, 2.92])
mu_0 = 3
alpha = 0.05

# liczę statystykę testową
s = np.sqrt(np.var(x))
n = len(x)
T = (np.mean(x) - mu_0)/s*np.sqrt(n)
print(f'Statystyka testowa T = {T:.3f}')

# wyznaczam zbiór krytyczny W
t1 = -t.ppf(1-alpha, n-1)
print(f'Zbiór krytyczny W = (-oo,{t1:.3f}]')

Statystyka testowa T = -2.106
Zbiór krytyczny W = (-oo,-1.943]

Zadanie 2

Wiedząc, że dane z pliku data_13.csv pochodzą z rozkładu normalnego o wariancji=4, przetestuj hipotezę o tym, że

• średnia rozkładu wynosi 5, na poziomie istotności 0.05
• średnia rozkładu wynosi 5, na poziomie istotności 0.10

# ładuję dane
name = 'data_13.csv'
x = np.genfromtxt(name, delimiter=',')

Zadanie 3

Wygeneruj 200 liczb z rozkładu Poissona o parametrze $\lambda=2$. Następnie przetestuj hipotezę o tym,

• że na poziomie istotności 0.05 dane rzeczywiście pochodzą z tego rozkładu
• że na poziomie istotności 0.05 dane rzeczywiście pochodzą z rozkładu w którego $\lambda$ jest wyznaczona metodą momentów

Pomocna może być funkcja np.unique(x, return_counts=True)

np.random.seed(1234)

Zadanie 4

Dokonano pomiarów tego samego tego samego natężenia prądu dwoma amperomierzami i uzyskano

• 1.2, 1.0, 1.1, 1.4, 1.1, 1.2, 1.0, 0.9, 1.1
• 1.5, 1.1, 1.4, 0.9, 1.4, 1.2, 1.3, 1.0, 1.2, 1.3, 1.5

Załóż że pomiary na amperomierzach pochodzą z rozkładów normalnych o jednakowych wariancjach.

Czy na poziomie istotności $\alpha = 0.10$ można stwierdzić, że wyniki pomiarów na obu amperomierzach są jednakowe? A na poziomie $\alpha = 0.05$?